已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2都满足f（x1+x2）=f（x1...

（1）令x=y=0，有f（0）=0，令x1=x，x2=-x，可得 f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．利用增函数的定义可证 f（x）是增函数． （2）要使，令t=sinθ+cosθ，由， 可得 在t∈[1，]上恒成立，故m应大于或等于t+的最大值，利用单调性求得 t+的最大值． 【解析】 （1）令x=y=0，有f（0）=0，令x1=x，x2=-x，有f（-x）+f（x）=f（x-x）=f（0）=0， 即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数． 在R上任取x1＜x2，则x1-x2＜0，由题意知f（x1-x2）＜0，则f（x1-x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1）-f（x2）＜0， 故f（x）是增函数． （2）要使， 只须 ．         又由f（x）为单调增函数有 ． 令t=sinθ+cosθ，则sin2θ=t2-1，∵，∴． 原命题等价于  恒成立， ∴， 令上为减函数，故 g（t）的最大值为3，∴m＞3时，原命题成立．