已知函数f（x）=ax3+x2-ax，其中常数a∈R，x∈R．（1）若函数f（...

已知函数f（x）=ax³+x²-ax，其中常数a∈R，x∈R．
（1）若函数f（x）在区间（1，2）上不是单调函数，试求a的取值范围；
（2）如果存在a∈（-∞，-1]，使函数h（x）=f（x）+f′（x），x∈[-1，b]（b＞-1），在x=-1处取得最小值，试求b的最大值．

（1）由f′（x）=3ax2+2x-a=0，得．令，则，由此能求出a的范围．（2）由h（x）=ax3+（3a+1）x2+（2-a）x-a，知h（x）≥h（-1）在区间[-1，b]上恒成立，令ϕ（x）=ax2+（2a+1）x+（1-3a），由a∈（-∞，-1]知其图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得．由此能求出b的最大值．【解析】（1）由f′（x）=3ax2+2x-a=0，得，令，则，所以在区间（1，2）上递增，其值域为，所以a的范围是．（2）h（x）=ax3+（3a+1）x2+（2-a）x-a，据题知，h（x）≥h（-1）在区间[-1，b]上恒成立，即：（x+1）（ax2+（2a+1）x+（1-3a））≥0…① 当x=-1时，不等式①成立；当-1＜x≤b时，不等式①可化为ax2+（2a+1）x+（1-3a）≥0…② 令ϕ（x）=ax2+（2a+1）x+（1-3a），由a∈（-∞，-1]知其图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得．又ϕ（-1）=-4a＞0，故不等式②成立的充要条件是ϕ（b）≥0，整理得：在a∈（-∞，-1]上有解，所以，解得，所以b的最大值为．

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考点分析：

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