已知函数f（x）=lnx-x+1（x∈[1，+∞）），数列{an}满足． （1）...

（1）由，知{an}是等比数列，又a1=e，可得数列{an}的通项公式． （2）由f（an）=lnen-en+1=（n+1）-en，得f（a1）+f（a2）+…+f（an）的值． （3）由函数f（x），求得f'（x），由导数判断f（x）递减，从而得f（x）≤f（1）=0，即lnx≤x-1，所以：ln1+ln2+…+lnn≤0+1+…+（n-1），即证得． 【解析】 （1）∵，∴{an}是等比数列，又a1=e，∴数列{an}的通项公式为：an=en． （2）由（1）知，f（an）=lnen-en+1=（n+1）-en， ∴f（a1）+f（a2）+…+f（an）=[2+3+…+（n+1）]-（e+e2+…+en） =． （3）由函数f（x）=lnx-x+1，得，又x≥1，∴f'（x）≤0， ∴f（x）递减，∴f（x）≤f（1）， 即f（x）≤0，也就是lnx≤x-1， 于是：ln1+ln2+…+lnn≤0+1+…+（n-1）， 即， 故．