已知双曲线的中心在原点O，其中一条准线方程为，且与椭圆有共同的焦点．（1）求此...

已知双曲线的中心在原点O，其中一条准线方程为 manfen5.com 满分网

，且与椭圆

有共同的焦点．
（1）求此双曲线的标准方程；
（2）（普通中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，试问：是否存在实数k，使得以弦AB为直径的圆过点O？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
（重点中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，C是直线L₁：y=mx+6上任一点（A、B、C三点不共线）试问：是否存在实数k，使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

（1）由已知得：，则a2=3，b2=9，从而可求双曲线的标准方程；（2）（普通中学学生做）将y=kx+3代入得（3-k2）x2-6kx-18=0，从而可得k的范围．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个根，由题意知：OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，从而可求满足条件的实数k；（重点中学学生做）将y=kx+3代入得（3-k2）x2-6kx-18=0，从而可得k的范围．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个根，由题意知：A、B两点关于直线L1对称，从而可求则AB的中点D的坐标，并满足直线L1的方程，故可求满足条件的实数k．【解析】（1）由已知得：，则a2=3，b2=9，因此所求双曲线的标准方程为．---（4分）（2）（普通中学学生做）将y=kx+3代入得（3-k2）x2-6kx-18=0，则由3-k2≠0，△=216-36k2＞0得：，---（7分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个根，由题意知：OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，---（9分）又y1=kx1+3，y2=kx2+3，则，即k=±1满足条件．---（12分）（重点中学学生做）将y=kx+3代入得（3-k2）x2-6kx-18=0，则由3-k2≠0，△=216-36k2＞0得：，---（7分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个根，由题意知：A、B两点关于直线L1对称，---（9分）则AB的中点D的坐标为，并满足直线L1的方程，则k=±1满足条件．---（12分）

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考点分析：

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	三角形纸片（张）	四边形纸片（张）	五边形纸片（张）
A型纸（每张可同时裁取）	1	1	3
B型纸（每张可同时裁取）	2	1	1

（普通中学学生做）若每张A、B型纸的价格分别为3元与4元，试设计一种买纸方案，使该学生在制作时买纸的费用最省，并求此最省费用．
（重点中学学生做）若每张A、B型纸的价格分别为4元与3元，试设计一种买纸方案，使该学生在制作时买纸的费用最省，并求此最省费用．

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（普通中学学生做）对于曲线xy-x²=1有以下判断：（1）它表示圆；（2）它关于两坐标轴对称；（3）它关于原点对称；（4）|x|≥2，|y|≥2．其中正确的有（填上相应的序号即可）．查看答案

试题属性

题型：解答题
难度：中等

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