已知定义在实数集R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d...

（1）因为函数f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，则导数在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都大于零，在区间（-1，3）上小于零，可知，-1和3对应的导数值为0，再由f′（0）=-18，可求得导函数，再利用导函数与原函数间的关系，表示出原函数，再由f（0）=-7求解． （2）若函数f（x）是单调函数，则导函数对应的方程无根即可，所以下面就转化为导数是恒大于零还是恒小于零问题求解． 解（1）f′（x）=3ax2+2bx+c． 由f'（0）=-18得c=-18，即f′（x）=3ax2+2bx-18．（3分） 又由于f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上是增函数，在区间（-1，3）上是减函数， 所以-1和3必是f′（x）=0的两个根． 从而（5分） 又根据f（0）=-7，所以f（x）=2x3-6x2-18x-7（7分） （2）f′（x）=3ax2+2bx+c由条件b2-3ac＜0可知a≠0，c≠0．（9分） 因为f'（x）为二次三项式， 并且△=（2b）2-4（3ac）=4（b2-3ac）＜0， 所以，当a＞0时，f'（x）＞0恒成立，此时函数f（x）是单调递增函数； 当a＜0时，f'（x）＜0恒成立，此时函数f（x）是单调递减函数． 因此，对任意给定的实数a，函数f（x）总是单调函数．（12分）