如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC中点． （1）求证：平面BEC1⊥...

（Ⅰ）由ABC-A1B1C1是正三棱柱，知AA1⊥平面ABC，BE⊥AA1．由△ABC是正三角形，E是AC中点，知BE⊥平面ACC1A1．由此能够证明平面BEC1⊥平面ACC1A1． （Ⅱ）连B1C，设BC1∩B1C=D．由ABC-A1B1C1是正三棱柱，知BCC1B1是矩形，D是B1C的中点．由E是AC的中点，知AB1∥DE．由此能够证明AB1∥平面BEC1． （Ⅲ）作CF⊥BC1于F，FG⊥BC1于G；连CG．由平面BEC1⊥平面ACC1A，知CF⊥平面BEC1，故FG是CG在平面BEC1上的射影．根据三垂线定理，知∠CGF是二面角E-BC1-C的平面角，由此能求出二面角E-BC1-C的大小． （Ⅰ）证明：∵ABC-A1B1C1是正三棱柱， ∴AA1⊥平面ABC， ∴BE⊥AA1． ∵△ABC是正三角形，E是AC中点， ∴BE⊥AC， ∴BE⊥平面ACC1A1． ∴BE⊂平面BEC1 ∴平面BEC1⊥平面ACC1A1．…（4分） （Ⅱ）证明：连B1C，设BC1∩B1C=D． ∵ABC-A1B1C1是正三棱柱， ∴BCC1B1是矩形，D是B1C的中点． ∵E是AC的中点， ∴AB1∥DE． ∵DE⊂平面BEC1，AB1⊄平面BEC1， ∴AB1∥平面BEC1．…（8分） （Ⅲ）【解析】 作CF⊥BC1于F，FG⊥BC1于G；连CG． ∵平面BEC1⊥平面ACC1A， ∴CF⊥平面BEC1…（9分） ∴FG是CG在平面BEC1上的射影． 根据三垂线定理得，CG⊥BC1． ∴∠CGF是二面角E-BC1-C的平面角．…（10分） 设AB=a，∵． 在Rt△ECC1中，CF= 在Rt△BCC1中，CG=． 在Rt△CFG中，∵， ∴∠CGF=45°． ∴二面角E-BC1-C的大小是45°…（12分）