设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB...

（1）可设直线AB的方程为 y=k（x-1）+3，代入 椭圆3x2+y2=λ，可得 x1+x2=，再由线段的中点公式求出 k=1，于是求得直线AB的方程．  （2）用点斜式求得直线CD的方程为  x-y+2=0，代入椭圆方程，整理得 4x2+4x+4-λ=0  ③，利用根与系数的关系和中点公式求得 M（-，  ），再求得M（-，  ）到直线AB的距离 d，即可得到圆的标准方程． 【解析】 （1）依题意，显然直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为 y=k（x-1）+3， 代入 椭圆3x2+y2=λ，整理得 （k2+3 ） x2-2k（k-3）x+（k-3）2-λ=0     ① 设 A （ x1，y1 ），B （x2，y2 ），则 x1，x2  是方程①的两个不同的根， ∴△=4k2 （k-3）2-4 （k2+3 ）[（k-3）2-λ]＞0  ②，且 x1+x2=． 由N（1，3）是线段AB的中点，得 =1，∴k（k-3）=k2+3，∴k=-1． 代和②得 λ＞12，即 λ 的取值范围是（12，+∞），于是直线AB的方程为 y-3=-（x-1）， 即 x+y-4=0． （2）∵CD垂直平分线段AB，∴直线CD的方程为 y-3=x-1，即 x-y+2=0， 代入椭圆方程，整理得 4x2+4x+4-λ=0     ③． 设 C（x3，y3 ），D  （x4，y4 ），CD的中点为 M（x，y ），则 x3，x4 是方程③的两根， ∴x3+x4=-1，∴x==-，y=x+1=，即 M（-，  ）． 又 M（-，  ）到直线AB的距离 d==， 故所求圆的方程为 ．