在平面直角坐标系xoy中，点P到两点、的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y...

（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是椭圆．从而写出其方程即可； （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系和弦长公式，即可求得此时|AB|的值，再由点到直线的距离公式求出AB边上的高，代入面积公式进行求解； （3）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系，求出两根之和与积，再由A、B在椭圆上和向量模的公式代入进行化简，根据点A位置和k的范围，判断式子的符号进行证明． 【解析】 （Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知， 点P的轨迹C是以 为焦点，长半轴为2的椭圆， 则它的短半轴 ， ∴曲线C的方程为 ． （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足 ， 消去y并整理得5x2+2x-3=0，故， ∴|AB|===， ∵点O（0，0）到直线l：y=x+1的距离d==， ∴△AOB的面积S=×|AB|×d==； （Ⅲ）设设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足， 消去y并整理得（k2+4）x2+2kx-3=0， 故， ∵A（x1，y1）在椭圆上，∴满足y2=4（1-x2），即y12=4（1-x12），同理y22=4（1-x22）， ∴=（x12-x22）+4（1-x12-1+x22） =-3（x1-x2）（x1+x2）=． ∵A在第一象限，故x1＞0，由 知x2＜0，从而x1-x2＞0． 又∵k＞0， ∴， 即在题设条件下，恒有 ．