已知两条互相平行的直线l1，l2之间的距离为常数a，这两条直线与边长为1的正方形...

（理科）以正方形的一组边所在的直线为x坐标轴建立平面直角坐标系，由正方形的对称性不妨设直线l1分别交边AB，BC于M，N，l2分别交边CO，OA于P，Q，直线l1的方程为y=kx+b1，直线l2的方程为y=kx+b2（k＜0，b1＞b2），由题意得点M（1，k+b1），P（0，b2），Q（），由几何图形可知，对于任意常数a（0＜a＜），都有无数个k使得两平行线l1，l2与正方形四条边相交，所以可设直线NQ的斜率KNQ存在，若使得四边形MNPQ的两条对角线的夹角θ为定值，由题意可得，=，KPM=k+b1-b2．分θ为定值90°，及θ≠90°，根据直线的夹角公式可求 （文科）：以正方形的一组边所在的直线为x坐标轴建立平面直角坐标系，，由正方形的对称性不妨设直线l1分别交边AB，BC于M，N，l2分别交边CO，OA于P，Q，直线l1的方程为y=kx+b1，直线l2的方程为y=kx+b2（k＜0，b1＞b2） 由题意得点M（1，k+b1），，P（0，b2），Q（） 当a=时，取k=-1，可求直线MP与QN的夹角，又取k=-时，则由直线的夹角公式可得直线MP与NQ的夹角，从而可得 （理科）【解析】 以正方形的一组边所在的直线为x坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示 由正方形的对称性不妨设直线l1分别交边AB，BC于M，N，l2分别交边CO，OA于P，Q，直线l1的方程为y=kx+b1，直线l2的方程为y=kx+b2（k＜0，b1＞b2） 由题意得点M（1，k+b1），P（0，b2），Q（）（1分） 由几何图形可知，对于任意常数a（0＜a＜），都有无数个k使得两平行线l1，l2与正方形四条边相交，所以可设直线NQ的斜率KNQ存在 由题意可得，=，KPM=k+b1-b2（2分） 当直线l1，l2变化时，若存在常数a使得θ为定值90°，则（1） ∵直线l1，l2之间的距离为，化简可得， 代入（1）可得，，与a为常数矛盾，所以夹角θ不可能是定值90°（4分） ∴四边形MNPQ的两条对角线PM，NQ的夹角θ应满足 = = = = 令，则tanθ==（6分） ∴当且仅当a=1，tanθ为定值1 经检验，当常数a=1时，四边形MNPQ的两条对角对角线的夹角θ为定值（8分） （文科））【解析】 以正方形的一组边所在的直线为x坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示 由正方形的对称性不妨设直线l1分别交边AB，BC于M，N，l2分别交边CO，OA于P，Q，直线l1的方程为y=kx+b1，直线l2的方程为y=kx+b2（k＜0，b1＞b2） 由题意得点M（1，k+b1），，P（0，b2），Q（）（2分） 当a=时，取k=-1，则直线QN的斜率不存在，此时直线MP的斜率为0，直线MP与QN的夹角（5分） 又取k=-时，则直线MP与NQ的斜率分别为， KPM•KQN≠1，此时夹角 ∴，直线PM与QN的夹角θ不能为定值（8分）