在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，-），（0，）的距离之和等于4，设点P的轨...

在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，- manfen5.com 满分网

），（0，

）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A，B两点．
（1）写出C的方程；
（2）若 manfen5.com 满分网

⊥

，求k的值．

（1）由题中条件：“点P到两点（0，-），（0，）的距离之和等于4，”结合椭圆的定义知其轨迹式样，从而求得其方程．（2）先将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y得到一个一元二次方程，再利用根与系数的关系结合向量垂直的条件列关于k方程式即可求得参数k值．【解析】（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，-），（0，）为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b==1，故曲线C的方程为x2+=1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足消去y并整理得（k2+4）x2+2kx-3=0，故x1+x2=-，x1x2=-． ∵⊥ ∴x1x2+y1y2=0． ∵y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1， ∴x1x2+y1y2=---+1=0，化简得-4k2+1=0，所以k=±．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等