对于数列an，（1）已知an是一个公差不为零的等差数列，a5=6． ①当a3=2...

（1）①在等差数列{an}中，由a5=6，a3=2，求出公差d，然后求出通项an，进而求出ant，由a3，a5an1，an2，…，ant…是等比数列，且可求出公比q，再求出ant，两次求出的ant相等，找出n与t的关系；   ②由a3，a5an1，an2，…，ant…是等比数列，由等比中项可得a3an1=a52，即．，又由已知已知{an}是等差数列，可求==，整理可得，由n为正整数可知a3为12的正约数 （2）由an+1an+3an+1+an+4=0，得an+1an+2an+1+2an+4=an-an+1， 即（an+1+2）（an+2）=（an+2）-（an+1+2）．a2009小于数列an中的其他任何一项，可知an不是常数列，构造新的等差数列，并借助该数列的单调性与反证法求出a1的范围． 【解析】 （1）①因为a3=2，a5=6，所以，公差d=， 从而an=a5+（n-5）d=2n-4（2分） 又a3，a5，an1，an2，ant，是等比数列，所以公比q=，所以 ant=a5•3t=2•3t+1，t∈N*． 又ant=2nt-4，所以2nt-4=2•3t+1，所以 nt=3t+1+2，t∈N*．（4分） ②因为n1＞5时，a3，a5，an1成等比数列，所以a3an1=a52，即．（6分） 所以当n≥3时， ， 所以， 即， 所以． ，解得． 因为n1是整数，且n1＞5，所以是正整数，从而整数a3必为12的正约数．（8分） （2）由an+1an+3an+1+an+4=0，得an+1an+2an+1+2an+4=an-an+1， 即（an+1+2）（an+2）=（an+2）-（an+1+2）．（*）（10分） 由（*）知：若存在ak=-2，则ak+1=-2；若存在ak+1=-2，则ak=-2，所以an是常数列，与“a2009小于数列an中的其他任何一项”矛盾，因此（an+1+2）（an+2）≠0． 由（*）式知，从而数列是首项为，公差为1的等差数列，即．（12分） 方法一由于数列是递增数列，且a2009小于数列{an}中的其他任何一项，即a2009+2小于数列{an+2}中的其他任何一项，所以a2009+2＜0， 且a2010+2＞0，这是因为若a2009+2＞0，则由， 得a2009+2＞a2010+2＞0，即a2009＞a2010，与 “a2009小于数列an中的其他任何一项”矛盾：，与“a2009小于数列an中的其他任何一项”矛盾：因此，， 即， 即， 即-1 综上，a1的取值范围是 方法二 当n＜1-时，an+2单调递增，且an+2＜0； 当n＞1-时，2+an单调递减，且an+2＞0． 由于a2009小于数列{an}中的其他任何一项，即a2009+2小于数列{an+2}中的其他任何一项， 所以a2009+2＜0，且a2010+2＞0， ， 即-2009＜， 即-； 解得-． 综上，a1的取值范围是．（16分）