已知函数f（x）=ax2+lnx，（x＞0） （1）讨论函数f（x）的单调性； ...

（1）先求函数的导函数f′（x）=，注意到定义域为（0，+∞），故解不等式f′（x）＞0或f′（x）＜0等价于解含参数的一元二次不等式，讨论参数的范围即可 （2）先将函数H（x）=f（x）-g（x）的零点的个数问题，转化为方程根的个数问题，进而转化为函数与函数M（x）=（x-e）2+a的图象交点个数问题，分别研究这两个函数的性质特别是单调性和极值，即可讨论出函数H（x）=f（x）-g（x）的零点的个数 （3）当a=0时，f（x）=lnx，，若f（x）是优美函数，则，即，即，故本题的关键是看上式是否成立，证明此不等式成立需利用换元法，并构造新函数，利用导数研究所构造函数的性质 【解析】 当a≥0时，f（x）的递增区间是（0，+∞）； 当a＜0时，f（x）的递增区间是，递减区间是； （2）H（x）=f（x）-g（x）=lnx-x3+2ex2-（a+e2）x 由H（x）=0得： 令，则 当0＜x＜e时，ϕ'（x）＞0，当x＞e时，ϕ'（x）＜0 所以当x=e时，ϕ（x）取最大值，且当x→0时，→-∞ 当x→+∞时，→0 令M（x）=（x-e）2+a 于是当时，H（x）有两个零点； 当时，H（x）有一个零点； 当时，H（x）没有零点． （3）当a=0时，f（x）=lnx   若f（x）是优美函数，则，即，于是 解得：…、① 令，则①可化为 令F（t）=lnt-t+1，则F（t）在（1，+∞）上递减，当t=1时取最大值F（1）=0、F（t）=lnt-t+1＜0 令，于是 当G（t）在（1，+∞）上递增，当t=1时取最小值G（1）=0、 于是①成立，所以 即 所以函数f（x）为优美函数．