已知x=0是函数f（x）=（x2+bx）ex的一个极值点． （1）求f（x）； ...

（1）由f′（x）=[x2+（6+2）x+b]ex和的性质知极值点，f′（x）=0，得b=0，由此能求出f（x）； （2）由x2ex＞ax3在[，2]内有解，知a＜在[，2]内有解，令g（x）=，x∈[，2]，则只要a＜（g（x））max．再由导数的性质能求出a的范围． （3）由题设知函数y=f（x）在x=an处的切线方程为，由切线与x轴的交点为（an-an+1，0），所以an=anan+1+2an+1．由此得bn+1=2bn-1，bn=2n+1，由此能够导出存在等差数列{cn}对n∈N*都有b1c1+b2c2+…+bncn=2n+1（2n-1）+n2+2n+2． 【解析】 （1）∵f′（x）=[x2+（6+2）x+b]ex， 又x=0是函数f（x）=（x2+bx）ex的一个极值点， ∴f′（x）=0，得b=0，故f（x）=x2ex（2分） （2）∵不等式f（x）＞ax3在[，2]内有解，即x2ex＞ax3在[，2]内有解， ∴a＜在[，2]内有解，令g（x）=，x∈[，2]， 则只要a＜（g（x））max．（3分） ∵g′（x）=， ∴g（1）=e是该函数的最小值； ∵g（）=，g（2）=，g（2）＞g（）， ∴a的取值范围为（-∞，）（5分） （3）∵f（x）=x2ex，f′（x）=（x2+2x）ex ∴函数y=f（x）在x=an处的切线方程为 ∵切线与x轴的交点为（an-an+1，0）， ∴ 化简得an=anan+1+2an+1．（7分） ∵a1=1，bn=，∴b1=3，=bn-2 ∴bn+1-2=1+2bn，整理得bn+1=2bn-1， 即bn+1-1=2（bn-1），∴{bn-1}是公比为2，首项为2的等比数列， ∴bn-1=（b1-1）2n-1，即bn=2n+1．（9分） 假设存在等差数列{cn}对n∈N*都有b1c1+b2c2++bncn=2n+1（2n-1）+n2+2n+2① 当n≥2时有b1c1+b2c2++bn-1cn-1=2n（2n-3）+n2+1② ①-②得bncn=2n（2n+1）+2n+1，即（2n+1）cn=2n（2n+1）+2n+1， ∴当n≥时有，cn=2n+1， 当n=1时，b1c1=9，而b1=3，∴c1=3也适合cn=2n+1． 故{cn}是首项为1，公差为2的等差数列． 即存在等差数列{cn}对n∈N*都有 b1c1+b2c2+…+bncn=2n+1（2n-1）+n2+2n+2．（13分）