已知抛物线C：y2=mx（m≠0）的准线与直线l：kx-y+2k=0（k≠0）的...

已知抛物线C：y²=mx（m≠0）的准线与直线l：kx-y+2k=0（k≠0）的交点M在x轴上，l与C交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N（p，0）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求实数p的取值范围；
（3）若C的焦点和准线为椭圆Q的一个焦点和一条准线，试求Q的短轴的端点的轨迹方程．

（1）先求出M点坐标，然后根据准线x=-2=-，求出m的值，进而求得抛物线方程；（2）联立抛物线和直线方程，由△＞0，求k2的范围，进而求出AB的中垂线方程，令y=0，求得关于p的关系式，从而求出范围．（3）首先求出焦点和准线方程，分两种情况（i）若F为左焦点，则c=x-2＞0，然后根据准线方程和a2=b2+c2，求出结果．（ii）若F为右焦点，则0＜x＜2，故c=2-x，b=|y|，然后根据准线方程和a2=b2+c2，求出结果．解（1）因为点M在x轴上，令y=0代入l：kx-y+2k=0（k≠0），解得x=-2，所以M（-2，0），所以抛物线C：y2=mx（m≠0）的准线为x=-2=-，所以m=8 所以抛物线C的方程为y2=8x．（2）由-8y+16k=0（k≠0）△=64（1-k2）＞0∴0＜k2＜1 ∴， ∴AB的中垂线方程为y-得p=x=4++2∵ 0＜k2＜1∴p∈（6，+∞）（3）∵抛物线焦点F（2，0），准线x=-2 ∴x=-2是Q的左准线设Q的中心为O′（x，0），则短轴端点为（x，±y）（i）若F为左焦点，则c=x-2＞0，b=|y| ∴a2=b2+c2=（x-2）2+y2 依左准线方程有x-=-2∴x-=-2即y2=4（x-2）（x＞2）（ii）若F为右焦点，则0＜x＜2，故c=2-x，b=|y| ∴a2=b2+c2=（2-x）2+y2依左准线方程有x-=-2 即∴x-=-2化简得2x2-4x+y2=0 即2（x-1）2+y2=2（0＜x＜2，y≠0）

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等