已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是，直线x-y-2=0与抛物线相交于M...

已知抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程是 manfen5.com 满分网

，直线x-y-2=0与抛物线相交于M，N两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：OM⊥ON．

（1）y2=2px（p＞0）的准线方程为，故p=1．由此能求出抛物线方程．（2）将x=y+2代入y2=2x，得y2-2y-4=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1y2=-4，由y12=2x1，y22=2x2，得，由此能导出OM⊥ON．【解析】（1）∵y2=2px（p＞0）的准线方程为， ∴p=1． ∴抛物线方程为y2=2x．（2）证明：将x=y+2代入y2=2x，消去x，整理，得y2-2y-4=0，设M（x1，y1），N（x2，y2）， ∵M，N的纵坐标y1，y2是y2-2y-4=0的两个根， ∴y1y2=-4，由y12=2x1，y22=2x2，得 y12y22=4x1x2， ∴， ∵， ∴， ∴OM⊥ON．

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