设函数．（I）证明：0＜a＜1是函数f（x）在区间（1，2）上递增的充分而不必...

设函数

．
（I）证明：0＜a＜1是函数f（x）在区间（1，2）上递增的充分而不必要的条件；
（II）若x∈（-∞，0）时，满足f（x）＜2a²-6恒成立，求实数a的取值范围．

（I）先求函数的导函数f′（x），证明当0＜a＜1时，f′（x）＞0，从而证明了充分性，再由若函数f（x）在区间（1，2）上递增，则a的范围包含（0，1），即证明了不必要性（II）先将恒成立问题转化为求函数f（x）在区间（-∞，0）上的最大值问题，再分a＞0，a=0，a＜0三种情况利用导数求函数的最大值，由最大值小于2a2-6，解得a的范围【解析】（I）对函数）求导，得，先证充分性：若0＜a＜1， ∵1＜x＜2，∴x-a＞0，x+a＞0， ∴f'（x）＞0 ∴函数f（x）在区间（1，2）上递增．再说明非必要性：∵f（x）在区间（1，2）上递增， ∴f'（x）≥0对1＜x＜2恒成立即对1＜x＜2恒成立， x2-a2≥0对1＜x＜2恒成立，即a2≤x2对1＜x＜2恒成立， ∵1＜x＜2，∴1＜x2＜4， ∴a2≤1，即-1≤a≤1．即推不出0＜a＜1． ∴0＜a＜1是函数f（x）在区间（1，2）上递增的充分而不必要的条件（II）由（I）知，令f'（x）=0，得x1=a，x2=-a ①当a=0时，f（x）=x，x∈（-∞，0）时，f（x）＜-6不能恒成立，不符合题意． ②当a＞0时，函数y=f（x）在（-∞，-a）上递增，在（-a，0）上递减， ∴函数y=f（x）在（-∞，0）上的极大值为f（-a）若x∈（-∞，0）时，f（x）＜2a2-6恒成立，则需f（x）极大值=f（-a）＜2a2-6 即-4a＜2a2-6，解得a＞1． ③当a＜0时，函数y=f（x）在（-∞，a）上递增，在（a，0）上递减， ∴函数y=f（x）在（-∞，0）上的极大值为f（a）此时x∈（-∞，0），若满足f（x）＜2a2-6恒成立，则需f（x）极大值=f（a）=0＜2a2-6 解得故若x∈（-∞，0）时，满足f（x）＜2a2-6恒成立，实数

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考点分析：

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如图，在直线y=0和y=a（a＞0）之间表示的是一条河流，河流的一侧河岸（x轴）是一条公路，且公路随时随处都有公交车来往．家住A（0，a）的某学生在位于公路上B（d，0）（d＞0）处的学校就读．每天早晨该学生都要从家出发，可以先乘船渡河到达公路上某一点，再乘公交车去学校，或者直接乘船渡河到达公路上B（d，0）处的学校．已知船速为υ（υ＞0），车速为2υ（水流速度忽略不计）．
（Ⅰ）若d=2a，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间；
（Ⅱ）若 manfen5.com 满分网