已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3...

①对于条件：“x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立”，令x=-3，再结合函数为偶函数可得f（-3）=f（3）=0，代入已知条件可得函数的周期为6，从而得到f（2010）=-2； ②欲证“直线x=6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴”，即证f（6+x）=f（6-x）； ③当x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，都有，说明函数在区间上是增函数，再用周期性的奇偶性可得结论正确； ④由①的结论可知在区间[-9，9]上f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，再结合单调函数根的分布可得结论正确． 【解析】 对于①，先令x=-3，即有f（3）=f（-3）+f（3），f（-3）=0， 再依据函数y=f（x）是R上的偶函数，有f（-3）=f（3），得f（3）=0， 这样f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x）函数f（x）的周期就是6， 因此f（2010）=f（335×6）=f（0）=f（-6）=-2； 对于②，∵f（x+6）=f（x）+f（3）， 又∵f（-x+6）=f（-x）+f（3），且f（-x）=f（x） ∴f（6+x）=f（6-x） ∴直线x=6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，故②对； 对于③，首先根据：当x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，都有， 说明函数在区间[0，3]上是增函数，再结合函数的周期为6， 将区间[0，3]右移6个单位，可得函数在[6，9]上为增函数 又∵函数为偶函数，在关于原点对称的区间上单调性相反 ∴函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数，可得③正确； 对于④，根据①的结论，f（-3）=f（3）=0，再结合函数周期为6 得f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0， 再根据在某个区间上的单调函数在这个区间内至多有一个零点， 得函数f（x）在[-9，9]上只有以上4个零点，所以④正确． 故答案为①②③④．