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在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在棱CC1上, (1)求证:A1E⊥B...

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在棱CC1上,
(1)求证:A1E⊥BD;
(2)当A1E与平面EBD所成角θ为多大时,平面A1BD⊥平面EBD.

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(1)连AC,A1C1,可先根据线面垂直的判定定理可证BD⊥平面ACC1A1,A1E⊂平面ACC1A1,根据线面垂直的性质可知BD⊥A1E; (2)设AC∩BD=O,则O为BD的中点,连A1O,EO,根据二面角平面角的定义可知∠A1OE即为二面角A1-BD-E的平面角,是90°,然后解三角形求出A1E与平面EBD所成角θ的大小即可. 【解析】 (1)证明:连AC,A1C1 ∵正方体AC1中,AA1⊥平面ABCD∴AA1⊥BD ∵正方形ABCD,AC⊥BD且AC∩AA1=A ∴BD⊥平面ACC1A1且E∈CC1 ∴A1E⊂平面ACC1A1 ∴BD⊥A1E (2)设AC∩BD=O,则O为BD的中点,连A1O,EO 由(1)得BD⊥平面A1ACC1∴BD⊥A1O,BD⊥EO ∴∠A1OE即为二面角A1-BD-E的平面角, ∴∠A1OE=90°,∴∠OA1E为A1E与平面EBD所成角θ, ∵AB=a,E为CC1中点∴A1O=,EO=,A1E=, sinθ=== ∴θ=arcsin,此时平面A1BD⊥平面EBD.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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