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平行六面体ABCD=A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3.∠BAD...

平行六面体ABCD=A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3.∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°
求AC1的长.

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观察图形及题设条件,可构造出与AC1有关的三角形然后利用三角形求此线段的长度,由题设条件可以证出AA1在底面上的射影是角BAD的角平分线,由几何体的几何特征知,CC1在底面上的射影在BC,DC的所组成的角的角平分线上,且此垂足到C的距离与点A1在底面的垂足O到A的距离相,故可依据题设条件求出点O到AB,AD的距离,即求得图中HR,CR的长度,补出如图的图形,在直角三角形中即可求出AC1的长 【解析】 由题意,如图,作A1O⊥底面于O,作OE垂直AB于E,OF垂直AD于F,连接A1F,A1E, 由于,∠BAA1=∠DAA1=60°,故有△A1FA≌△A1EA,即A1F=A1E 从而有△A1FO≌△A1EO,即有OF=OE,由作图知,O在角DAB的角平分线上, 又底面是矩形,故角DAO=角BAO=45°, 又AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAA1=∠DAA1=60°, ∴A1F=A1E=,AE=AF=,于是有AO=, 在直角三角形A1OA中,解得A1O= 在图中作C1H垂直底面于H,作HR垂直DC延长线与R,由几何体的性质知,HR=CR=,A1O=C1H= 连接AH,得如图的直角三角形ASH,直角三角形AHC1,由已知及上求解得AS=,SH= ∴AC12=AH2+C1H2=AS2+SH2+C1H2=++==23 ∴AC1=
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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