在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上取一点E使A...

在正方体的对角面AA1C1C中，找到EH∥AA1，从而EH⊥平面ABCD，AE在平面ABCD内的射影AH在正方形对角线AC上，从而AE满足与AB、AD所成的角相等．再作HI⊥AB于I，连接EI，设AI=x，利用解直角三角形，得AE=2x，AH=x，最后在Rt△AEH中利用勾股定理，可建立等式，最终求出AE的长度． 【解析】 连接AC、A1C1，分别在A1C1、AC上取一点E、H，使AH=A1E，连接AE、EH 过H作HI⊥AB于I，连接IE ∵多面体ABCD-A1B1C1D1是正方体 ∴四边形AA1C1C是矩形 ∴AH∥A1E，再结合AH=A1E ∴四边形AA1EH是平行四边形 ∴EH∥AA1，再结合AA1与平面ABCD垂直 ∴EH⊥平面ABCD ∵AC是∠BAD的平分线，AE在底面ABCD内的射影AH在AC上 ∴∠EAD=∠EAB ∵AB⊂平面ABCD，EH⊥平面ABCD ∴AB⊥EH，再结合AB⊥HI，EH∩HI=H 得：AB⊥平面EHI ∵EI⊂平面EHI ∴EI⊥AB Rt△AEI中，设AI=x，∠EAI=60° ∴cos60°=，可得AE=2x Rt△AHI中，∠HAI=45° ∴cos45°=，可得AH= 在Rt△AEH中，AH2+EH2=AE2 ∴，可得x= ∴AE=2x= 故选C