已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n2-3n-2，n=1，2，3...

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n+n²-3n-2，n=1，2，3…．
（Ⅰ）求证：数列{a_n-2n}为等比数列；
（Ⅱ）设b_n=a_n•cosnπ，求数列{b_n}的前n项和P_n；
（Ⅲ）设 manfen5.com 满分网

，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证： manfen5.com 满分网

．

（1）根据Sn=2an+n2-3n-2可得到Sn+1的表达式Sn+1=2an+1+（n+1）2-3（n+1）-2，两式相减可得到an+1=2an-2n+2整理可得an+1-2（n+1）=2（an-2n），即数列{an-2n}为等比数列．（2）先根据数列{an-2n}为等比数列求出an的表达式，再对n分奇偶数讨论可求出数列{bn}的前n项和Pn．（3）将an的表达式代入到中求出数列{cn}的通项公式，进而可验证当n=1时满足，然后当n≥2时对进行放缩可得到Tn=得证．【解析】（Ⅰ）∵Sn=2an+n2-3n-2， ∴Sn+1=2an+1+（n+1）2-3（n+1）-2． ∴an+1=2an-2n+2，∴an+1-2（n+1）=2（an-2n）． ∴{an-2n}是以2为公比的等比数列；（Ⅱ）a1=S1=2a1-4，∴a1=4，∴a1-2×1=4-2=2． ∴an-2n=2n，∴an=2n+2n．当n为偶数时，Pn=b1+b2+b3+…+bn =（b1+b3+…+bn-1）+（b2+b4+…+bn） =-（2+2×1）-（23+2×3）-…-[2n-1+2（n-1）]+（22+2×2）+（24+2×4）+…+（2n+2×n） =；当n为奇数时，Pn=．综上，；（Ⅲ）．当n=1时，T1= 当n≥2时， === 综上可知：任意n∈N，．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等