已知点（x，y）在椭圆C：（a＞b＞0）的第一象限上运动．（Ⅰ）求点的轨迹C1...

已知点（x，y）在椭圆C： manfen5.com 满分网

（a＞b＞0）的第一象限上运动．
（Ⅰ）求点 manfen5.com 满分网

的轨迹C₁的方程；
（Ⅱ）若把轨迹C₁的方程表达式记为y=f（x），且在 manfen5.com 满分网

内y=f（x）有最大值，试求椭圆C的离心率的取值范围．

（I）欲求点的轨迹C1的方程，设，只须求出x，y的关系式即可，利用点（x，y）在椭圆C：（a＞b＞0）的第一象限上运动，点的坐标适合方程，即可得到x，y的关系式；（II）由轨迹C1方程是（x＞0，y＞0），得（x＞0）．利用基本不等式求出f（x）的最大值，及取得最大值的条件得出关于a，c的不等关系，即可求得椭圆C的离心率的取值范围．【解析】（Ⅰ）设点（x，y）是轨迹C1上的动点，∴（2分） ∴xy=y2，． ∵点（x，y）在椭圆C：（a＞b＞0）的第一象限上运动，则x＞0，y＞0． ∴．故所求的轨迹C1方程是（x＞0，y＞0）．（6分）（Ⅱ）由轨迹C1方程是（x＞0，y＞0），得（x＞0）． ∴≤．所以，当且仅当，即时，f（x）有最大值．（10分）如果在开区间内y=f（x）有最大值，只有．（12分）此时，，解得． ∴椭圆C的离心率的取值范围是．（14分）

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考点分析：

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如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD=120°，PC⊥平面ABCD，PC=a，E为PA的中点，O为底面对角线的交点；
（1）求证：平面EDB⊥平面ABCD；
（2）求二面角的正切值．