设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足2Sn=an2+n，an＞0（n∈N*）...

（Ⅰ）分别令n=1，2，3，列出方程组，能够求出求a1，a2，a3； （Ⅱ）证法一：猜想：an=n，由2Sn=an2+n可知，当n≥2时，2Sn-1=an-12+（n-1），所以an2=2an+an-12-1再用数学归纳法进行证明； 证法二：猜想：an=n，直接用数学归纳法进行证明． （Ⅲ）证法一：要证≤，只要证n（x+y）+2+≤2（n+2），将x+y=1代入，得≤n+2，即要证4xy≤1．由均值不等式知4xy≤1成立，所以原不等式成立． 证法二：由题设知≤，≤，所以（）≤=n+2，由此可导出≤． 证法三：先证≤，然后令a=nx+1，b=ny+1，即得：≤=． 【解析】 （Ⅰ）分别令n=1，2，3，得 ∵an＞0，∴a1=1，a2=2，a3=3．（3分） （Ⅱ）证法一：猜想：an=n，（4分） 由2Sn=an2+n① 可知，当n≥2时，2Sn-1=an-12+（n-1）② ①-②，得2an=an2-an-12+1，即an2=2an+an-12-1．（6分） 1）当n=2时，a22=2a2+12-1，∵a2＞0，∴a2=2；（7分） 2）假设当n=k（k≥2）时，ak=k．那么当n=k+1时， ak+12=2ak+1+ak2-1=2ak+1+k2-1⇒[ak+1-（k+1）][ak+1+（k-1）]=0， ∵ak+1＞0，k≥2， ∴ak+1+（k-1）＞0， ∴ak+1=k+1．这就是说，当n=k+1时也成立， ∴an=n（n≥2）．显然n=1时，也适合． 故对于n∈N*，均有an=n．（9分） 证法二：猜想：an=n，（4分） 1）当n=1时，a1=1成立；（5分） 2）假设当n=k时，ak=k．（6分） 那么当n=k+1时，2Sk+1=ak+12+k+1．∴2（ak+1+Sk）=ak+12+k+1， ∴ak+12=2ak+1+2Sk-（k+1）=2ak+1+（k2+k）-（k+1）=2ak+1+（k2-1） （以下同证法一）（9分） （Ⅲ）证法一：要证≤， 只要证≤2（n+2），（10分） 即n（x+y）+2+≤2（n+2），（11分） 将x+y=1代入，得≤n+2， 即要证4（n2xy+n+1）≤（n+2）2，即4xy≤1．（12分） ∵x＞0，y＞0，且x+y=1，∴≤， 即xy≤，故4xy≤1成立，所以原不等式成立．（14分） 证法二：∵x＞0，y＞0，且x+y=1，∴≤① 当且仅当时取“=”号．（11分） ∴≤② 当且仅当时取“=”号．（12分） ①+②，得（）≤=n+2， 当且仅当时取“=”号．（13分） ∴≤．（14分） 证法三：可先证≤．（10分） ∵，，a+b≥，（11分） ∴2a+2b≥， ∴≥，当且仅当a=b时取等号．（12分） 令a=nx+1，b=ny+1，即得：≤=， 当且仅当nx+1=ny+1即时取等号．（14分）