如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为8，对角线B1C=10，D为AC的...

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为8，对角线B₁C=10，D为AC的中点．
（Ⅰ）求证：AB₁∥平面C₁BD
（Ⅱ）求二面角C-DB-C₁的大小的余弦值．

（Ⅰ）连接B1C，设B1C与BC1交于点E，连接DE，根据DE是△CAB1的中位线，证明DE∥AB1，从而证得AB1∥平面C1BD．（Ⅱ）由条件证明∠C1DC=θ即为二面角C-DB-C1的平面角，求出CD和CC1的长度，在△CDC1中，由，求出，即为所求．【解析】（Ⅰ）连接B1C，设B1C与BC1交于点E，连接DE，由正三棱柱性质知E为B1C中点，又D为AC的中点，∴DE是△CAB1的中位线， ∴DE∥AB1，又DE⊂平面BDC1，AB1⊄平面C1BD，∴AB1∥平面C1BD．（Ⅱ）∵D为AC的中点，由正三棱柱性质知，BD⊥侧面AC1，CC1⊥平面ABC，故∠C1DC=θ即为二面角C-DB-C1的平面角， ∵，在△CDC1中，，∴，故二面角C-DB-C1的余弦值为．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等