已知函数f（x）=x3+ax2-bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且在x=...

（1）函数在x=1处的切线与直线平行得f′（1）=1解出a与b的关系式，由函数有极值得方程f′（x）=0有两个不等实根，所以利用根的判别式大于零解出a的范围即可； （2）存在．令f′（x）=0得到函数的两个稳定点，然后分区间讨论函数的增减性，得到函数的极小值令其等于1，讨论得到a的值存在，求出a即可； （3）把a=代入到g（x）=-3中化简得到g（x）的解析式，然后用数学归纳法证明其结论成立即可． 【解析】 ∵f′（x）=x2+2ax-b，∴f′（1）=1+2a-b， 又因为函数在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行，所以在x=1处的切线的斜率等于1，∴f′（1）=1∴b=2a① ∵f（x）有极值，故方程f′（x）=x2+2ax-b=0有两个不等实根∴△=4a2+4b＞0∴a2+b＞0② 由①．②可得，a2+2a＞0∴a＜-2或a＞0 故实数a的取值范围是a∈（-∞，-2）∪（0，+∞） （2）存在a=- ∵f′（x）=x2+2ax-b，令f′（x）=0∴x1=-a-，x2=-a+ ∴f（x）极小=f（x2）=+ax22-2ax2+1=1 ∴x2=0或x22+3ax2-6a=0 若x2=0，即-a+=0，则a=0（舍） 若x22+3ax2-6a=0，又f′（x2）=0，∴x22+2ax2-2a=0， ∴ax2-4a=0 ∵a≠0∴x2=4 ∴-a+=4 ∴a═＜-2 ∴存在实数a=-，使得函数f（x）的极小值为1． （3）∵a=，f′（x）=x2+x-1，∴f′（x+1）=x2+3x+1，∴-3==x+∴g（x）=x+，x∈（0，+∞）． 证明：当n=1时，左边=0，右边=0，原式成立， 假设当n=k时结论成立，即-xk-≥2k-2 当n=k+1时，左边=-xk+1-≥（x+）（2k-2+xk+）-（xk+1+）=（x+）（2k-2）+xk-1+≥2k+1-4+2=2k+1-2 当且仅当x=1时等号成立，即当n=k+1时原式也成立 综上当n∈N+时，gn（x）-xn-≥2n-2成立．