在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，． （Ⅰ）当a=...

（Ⅰ）由PA垂直矩形底面ABCD，利用直线与平面垂直的性质得到PA垂直BD，由a=1，知道底面ABCD为正方形，从而得到BD垂直于△PAC，由此能够证明BD⊥PC． （Ⅱ）由AB，AD，AP两两垂直，分别以它们所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立坐标系．借助空间向量先求出a=2，m=1．然后求出设面PQD的法向量，取面PAD的法向量，由此利用向量法能求出二面角A-PD-Q的余弦值． 证明：（Ⅰ）∵PA垂直矩形底面ABCD， ∴PA垂直BD， ∵， a=1， ∴AB=PA=BC， ∴底面ABCD为正方形， ∴BD垂直于AC， ∴BD垂直于△PAC， ∴BD⊥PC． 【解析】 （Ⅱ）∵AB，AD，AP两两垂直，分别以它们所在的直线为x轴，y轴，z轴， 建立坐标系 令AB=1，则BC=a， B（1，0，0），D（0，a，0），C（1，a，0），P（0，0，1）， 设BQ=m，Q（1，m，0），（0≤m≤a）， 要使PQ⊥QD，只要， 即m2-am+1=0， 由△=a2-4=0，得a=2，此时m=1． ∴BC边上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD时， Q为BC的中点，且a=2， 设面PQD的法向量， 则，即， ∴， 取面PAD的法向量， 则＜＞的大小与三面角A-PD-Q的大小相等， ∵cos＜＞==， ∴二面角A-PD-Q的余弦值为．