已知平面上一定点C（4，0）和一定直线l：x=1，P为该平面上一动点，作PQ⊥l...

已知平面上一定点C（4，0）和一定直线l：x=1，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且 manfen5.com 满分网

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（1）问：点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；
（2）设直线l：y=kx+1与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，-2）？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

（1）设P的坐标为（x，y），由，得，由此能判断P点在双曲线上，并能求出其方程．（2）设A，B点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），由得：（3-k2）x2-2kx-13=0，然后利用韦达定理和根的判别式能推导出．再由以AB为直径的圆过D（0，-2），得，所以，由此能够导出存在k值为．【解析】（1）设P的坐标为（x，y），由得， ∴（x-4）2+y2-4（x-1）2=0，…（3分）化简得． ∴P点在双曲线上，其方程为．…（4分）（2）设A，B点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），由得：（3-k2）x2-2kx-13=0，…（6分） ∴， ∵AB与双曲线交于两点， ∴△＞0，即4k2-4（3-k2）（-13）＞0，解得．…（8分） ∵若以AB为直径的圆过D（0，-2），则AD⊥BD， ∴kAD•kBD=-1，…（10分）即， ∴（y1+2）（y2+2）+x1x2=0⇒（kx1+3）（kx2+3）+x1x2=0 ∴ 解得，∴，故存在k值为．…（13分）

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考点分析：

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如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC．
（Ⅰ）证明：A₁C⊥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A₁-DE-B的大小．

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如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．
（1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；
（2）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？（精确到0.1m）