如图，设圆（x-5）2+y2=16的圆心为C，此圆和抛物线y2=px（p＞0）有...

如图，设圆（x-5）²+y²=16的圆心为C，此圆和抛物线y²=px（p＞0）有四个交点，若在x轴上方的两个交点为A（x₁， manfen5.com 满分网

），B（x₂，

）（x₁＜x₂），坐标原点为O，△AOB的面积为S．
（1）求p的取值范围；
（2）求S关于p的函数f（p）的表达式及S的最大值；
（3）求当S取最大值时，向量 manfen5.com 满分网

与

的夹角．

（1）因为圆和抛物线有四个交点，所以联立两个方程，消去y，根据圆和抛物线的对称性，得到的关于x的一元二次方程有两个不同正根，据此可求出参数p的范围．（2）△AOB的面积可用|AB|乘以O到AB的距离来计算，用弦长公式计算|AB|，点到直线的距离公式计算O到AB的距离，就可得到S关于p的函数f（p）的表达式，再根据（1）中所求p的范围求最大值．（3）用数量级的夹角公式计算即可．【解析】（1）把 y2=px代入（x-5）2+y2=16得 x2+（p-10）x+9=0 依题意得方程x2+（p-10）x+9=0有两个不同的正根为x1，x2 ∴x1+x2=10-p，x1x2=9，∴解得p＜4又∵p＞0 ∴p的取值范围是（0，4）（2）∵直线AB的斜率 ∴AB的方程：=，即，即 ∴点O到AB的距离，又 ∴S=f（p）==≤3，当且仅当p=2时S取最大值为3 （3）S取最大值时，p=2，解方程x2-8x+9=0，得 =，=（，=-6+6=0 ∴向量的夹角的大小为90°．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等