满分5 > 高中数学试题 >

已知函数f(x)=ax3+bx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程...

已知函数f(x)=ax3+bx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x-2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)过点(2,2)能作几条直线与曲线y=f(x)相切?说明理由.
(1)欲求函数f(x)的解析式,只须求出切线斜率的值,f(1),列出方程组即可; (2)设过点(2,2)的直线与曲线y=f(x)相切于点(t,f(t)),可得切线方程为y=(3t2-1)x-2t3,由切线过点(2,2)得:t3-3t2+2=0,从而问题转化为方程t3-3t2+2=0的实根个数,利用导数法可求. 【解析】 (1)f′(x)=3ax2+b,由题知…(1分) ∴f(x)=x3-x…(5分) (2)设过点(2,2)的直线与曲线y=f(x)相切于点(t,f(t)),则切线方程为:y-f(t)=f′(t)(x-t) 即y=(3t2-1)x-2t3…(7分) 由切线过点(2,2)得:2=(3t2-1)•2-2t3,过点(2,2)可作曲线y=f(x)的切线条数就是方程t3-3t2+2=0的实根个数…(9分) 令g(t)=t3-3t2+2,则g′(t)=3t(t-2) 由g′(t)=0得t1=0,t2=2 当t变化时,g(t)、g′(t)的变化如下表 t (-∞,0) (0,2) 2 (2,+∞) g′(t) + - + g(t) ↗ 极大值2 ↘ 极小值-2 ↗ 由g(0)•g(2)=-4<0知,故g(t)=0有三个不同实根可作三条切线…(13分)
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
如图,用半径为R的圆铁皮,剪一个圆心角为α的扇形,制成一个圆锥形的漏斗,问圆心角α取什么值时,漏斗容积最大.(圆锥体积公式:manfen5.com 满分网,其中圆锥的底面半径为r,高为h)

manfen5.com 满分网 查看答案
在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列(n∈N*
(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4
(2)猜想{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论.
查看答案
已知两正数a,b满足manfen5.com 满分网,求证:manfen5.com 满分网
查看答案
设集合P={1,2,3,4,5,6,7,8},P的子集A={a1,a2,a3},其中a3>a2>a1,当满足a3≥a2+2≥a1+5时,我们称子集A为P的“好子集”,则这种“好子集”的个数为    .(用数字作答) 查看答案
观察下列等式:观察下列等式:
Cmanfen5.com 满分网+Cmanfen5.com 满分网=23-2,
Cmanfen5.com 满分网+Cmanfen5.com 满分网+Cmanfen5.com 满分网=27+23
Cmanfen5.com 满分网+Cmanfen5.com 满分网+Cmanfen5.com 满分网+Cmanfen5.com 满分网=211-25
Cmanfen5.com 满分网+Cmanfen5.com 满分网+Cmanfen5.com 满分网+Cmanfen5.com 满分网+Cmanfen5.com 满分网=215+27

由以上等式推测到一个一般结论:
对于n∈N*,Cmanfen5.com 满分网+Cmanfen5.com 满分网+Cmanfen5.com 满分网+…+Cmanfen5.com 满分网=    查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.