已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，点M（4，1）是椭圆上一定点，直线l：y=x+...

（1）由椭圆（a＞b＞0）的离心率为，知a=2k，c=，b2=k2，由椭圆过点M（4，1），解得k2=5，由此能求出椭圆方程． （2）将y=x+m代入，并整理得5x2+8mx+4m2-20=0，由△=（8m）2-20（4m2-20）＞0，能求出m的取值范围． （3）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，k=1，=，O到直线AB的距离d=，由此能求出△OAB面积的最大值． 【解析】 （1）∵椭圆（a＞b＞0）的离心率为， ∴a=2k，c=，b2=k2， ∵椭圆过点M（4，1）， ∴，解得k2=5， 故椭圆方程为． （2）将y=x+m代入，并整理得5x2+8mx+4m2-20=0， △=（8m）2-20（4m2-20）＞0， 解得：-5＜m＜5． （3）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则，，k=1， ∴ =， ∵O到直线AB的距离d=， ∴△OAB面积≤5． 当且仅当m=±5时，取最大值．