函数．（1）试求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，求证：函数f（x）的图...

函数

．
（1）试求f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，求证：函数f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是a=1；
（3）求证：不等式 manfen5.com 满分网

对于x∈（1，2）恒成立．

（1）函数的定义域是（0，+∞），求出导数，分a≤0和a＞0两种情况讨论导数的符号，得到单调区间．（2）由函数的单调性知，函数f（x）的图象存在唯一零点，当且仅当f（a）=0．（3）将要证的不等式等价转化为g（x）＞0在区间（1，2）上恒成立，利用导数求出g（x）的最小值，只要最小值大于0即可．【解析】（1）函数的定义域是（0，+∞），导数f′（x）=-，若a≤0，导数f′（x）在（0，+∞）上大于0，函数的单调增区间是（0，+∞）；若a＞0，在（a，+∞）上，导数大于0，函数的单调增区间是（a，+∞），在（a，+∞）上，导数小于0，单调减区间是（0，a）（2）由第一问知道，当a＞0时候，函数f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，所以要使得函数f（x）的图象存在唯一零点，当且仅当f（a）=0，即a=1 （3）要证，即证，即证设恒成立 ∴g（x）min＞g（1）=0，∴g（x）＞0，即

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考点分析：

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函数

，g（x）=ax²-b（a、b、x∈R），集合 manfen5.com 满分网

，
（1）求集合A；
（2）如果b=0，对任意x∈A时，f（x）≥0恒成立，求实数a的范围；
（3）如果b＞0，当“f（x）≥0对任意x∈A恒成立”与“g（x）≤0在x∈A内必有解”同时成立时，求a的最大值．

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如图，在半径为

、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点（N，M）在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，
（1）按下列要求写出函数的关系式：
①设PN=x，将y表示成x的函数关系式；
②设∠POB=θ，将y表示成θ的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值．