如图，矩形ABCD中，|AB|=10，|BC|=6，现以矩形ABCD的AB边为x...

如图，矩形ABCD中，|AB|=10，|BC|=6，现以矩形ABCD的AB边为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，P是x轴上方一点，使得PC、PD与线段AB分别交于点C₁、D₁，且|AD₁|，|D₁C₁|，|C₁B|成等比数列．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）求动点P到直线l：x+y+6=0距离的最大值及取得最大值时点P的坐标．

（1）设点P的坐标为（x，y）（y＞0），用坐标分别表示出|AD1|，|D1C1|，|C1B|，利用|AD1|，|D1C1|，|C1B|成等比数列，得方程，进而化简即可得动点P的轨迹方程；（2）由图易知当与直线l平行的直线与半椭圆相切于点P时，点P到直线l距离的最大．设与直线l：x+y+6=0平行的直线方程为x+y+k=0，代入，化简得 34x2+50kx+25k2-225=0，利用△=0，可求k的值．从而可求点P到直线l距离的最大值及点P的坐标．【解析】（1）设点P的坐标为（x，y）（y＞0），过P作PE∥CD交DA的延长线于E，交CB的延长线于F．在△DPE中，，得，得．在△PCD中，=，得．同理可得． ∵|AD1|，|D1C1|，|C1B|成等比数列， ∴|D1C1|2=|AD1|•|C1B|． ∴（）2=．化简得． ∴动点P的轨迹方程为．（2）由图易知当与直线l平行的直线与半椭圆相切于点P时，点P到直线l距离的最大．设与直线l：x+y+6=0平行的直线方程为x+y+k=0，代入，得 34x2+50kx+25k2-225=0，① 由△=2500k2-3400（k2-9）=0，解得k2=34，由k＜0，得．故点P到直线l距离的最大值为．把代入①式，可解得点P的坐标为．

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考点分析：

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