如图，已知二面角α-l-β的平面角为45°，在半平面α内有一个半圆O，其直径AB...

过M作MH⊥β，H为垂足，在α内，作MK⊥AB，K为垂足，连接KH，AH，BH，则∠MAH=θ1，∠MBH=θ2．说明∠MKH是二面角α-l-β的平面角．通过AM2=AK•AB，BM2=BK•AB，MK2=AK•BK，在Rt△MHA和Rt△MHB中，表示出sin2θ1+sin2θ2，即可求出所求表达式的值． 证明：过M作MH⊥β，H为垂足，在α内，作MK⊥AB，K为垂足，连接KH，AH，BH， 则∠MAH=θ1，∠MBH=θ2． ∵MH⊥β，AB⊂β， ∴MH⊥AB． ∵MK∩MH=M，MK⊂平面MHK，MH⊂平面MHK， ∴AB⊥平面MHK． ∵HK⊂平面MHK， ∴AB⊥HK． ∴∠MKH是二面角α-l-β的平面角． ∴∠MKH=45°． ∴． 在Rt△AMB中， AM2=AK•AB，BM2=BK•AB，MK2=AK•BK， 在Rt△MHA和Rt△MHB中，． ∴sin2θ1+sin2θ2=== ==． ∴cos2θ1+cos2θ2=2-（sin2θ1+sin2θ2）=2-=．（定值）．