圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为 ．

根据圆心在曲线上，设出圆心的坐标，然后根据圆与直线2x+y+1=0相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，要使圆的面积最小即为圆的半径最小，利用点到直线的距离公式表示出设出的圆心到已知直线的距离d，利用基本不等式求出d的最小值及此时a的值，进而得到此时的圆心坐标和圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可． 【解析】 由圆心在曲线上，设圆心坐标为（a，）a＞0， 又圆与直线2x+y+1=0相切，所以圆心到直线的距离d=圆的半径r， 由a＞0得到：d=≥=，当且仅当2a=即a=1时取等号， 所以圆心坐标为（1，2），圆的半径的最小值为， 则所求圆的方程为：（x-1）2+（y-2）2=5． 故答案为：（x-1）2+（y-2）2=5