已知y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy． ...

已知y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．
（1）求f（0）的值；
（2）若f（1）=1，求f（2），f（3），f（4）值，猜想f（n）表达式并用数学归纳法证明；
（3）若 manfen5.com 满分网

．

（1）分别对x，y赋值0可求；（2）利用f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，先分别求f（2），f（3），f（4）值，猜想f（n）=n2，进而进行证明；（3）先求，再令，从而构建等比数列，最后求和可证．【解析】（1）令x=y=0，则f（0）=0；（2）f（2）=4，f（3）=9，f（4）=16，猜想f（n）=n2， ①当n=1时，显然成立； ②设n=k时成立，即f（k）=k2，则n=k+1时，f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=（k+1）2即=k+1时，成立综上知f（n）=n2，成立（3）设令变形为：，因此数列是等比数列，首项为，∴ ∴

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考点分析：

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