已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R． （Ⅰ）当...

（1）将a的值代入后对函数f（x）进行求导，当导函数大于0时求原函数的单调增区间，当导函数小于0时求原函数的单调递减区间． （2）根据函数f（x）仅在x=0处有极值说明f'（x）=0仅有x=0一个根得到答案． （3）根据函数f（x）的单调性求出最大值，然后令最大值小于等于1恒成立求出b的范围． 【解析】 （Ⅰ）f'（x）=4x3+3ax2+4x=x（4x2+3ax+4）． 当时，f'（x）=x（4x2-10x+4）=2x（2x-1）（x-2）． 令f'（x）=0，解得x1=0，，x3=2． 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： 所以f（x）在，（2，+∞）内是增函数，在（-∞，0），内是减函数． （Ⅱ）f'（x）=x（4x2+3ax+4），显然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根． 为使f（x）仅在x=0处有极值，必须4x2+3ax+4≥0成立，即有△=9a2-64≤0． 解些不等式，得．这时，f（0）=b是唯一极值． 因此满足条件的a的取值范围是． （Ⅲ）由条件a∈[-2，2]，可知△=9a2-64＜0，从而4x2+3ax+4＞0恒成立． 当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0． 因此函数f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）与f（-1）两者中的较大者． 为使对任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立， 当且仅当，即，在a∈[-2，2]上恒成立． 所以b≤-4，因此满足条件的b的取值范围是（-∞，-4]．