若数列{an}的前n项和Sn是（1+x）n二项展开式中各项系数的和（n=1，2，...

（1）能利用an与Sn之间的关系得到an的通项公式． （2）会根据递推公式求出bn的通项公式，并根据bn与cn关系求通项公式及前n项和． （3）两式作差后根据其特点利用数学归纳法进行证明． 【解析】 （1）由题意Sn=2n，Sn-1=2n-1（n≥2）， 两式相减得an=2n-2n-1=2n-1（n≥2）． 当n=1时，2×1-1=1≠S1=a1=2 ∴． （2）∵bn+1=bn+（2n-1），∴b2-b1=1，b3-b2=3，b4-b3=5， bn-bn-1=2n-3．以上各式相加得： bn-b1=1+3+5+…+（2n-3）= ∵b1=-1，∴bn=n2-2n ∴． ∴Tn=-2+0×21+1×22+2×23+3×24+…+（n-2）2n-1 ∴2Tn=-4+0×22+1×23+2×24+…+（n-2）2n． ∴-Tn=2+22+23++2n-1-（n-2）2n= ∴Tn=-2n+2+（n-2）2n=2+（n-3）2n． ∴Tn=2+（n-3）2n．当n=1时T1=-2也适合上式． ∴Tn=2+（n-3）2n （3）证明：Tn•Tn+2-Tn+12=[2+（n-3）•2n]•[2+（n-1）•2n+2]-[2+（n-2）•2n+1]2 =4+（n-1）•2n+3+（n-3）•2n+1+（n-1）（n-3）•22n+2-[4+（n+2）（n+2）•22n+2+（n-2）•2n+3] =2n+1[（n+1）-2n+1] ∵2n+1＞0，∴需证明n+1＜2n+1，用数学归纳法证明如下： ①当n=1时，1+1＜21+1成立． ②假设n=k时，命题成立即k+1＜2k+1， 那么，当n=k+1时，（k+1）+1＜2k+1+1＜2k+1+2k+1=2•2k+1=2（k+1）+1成立． 由①、②可得，对于n∈N*都有n+1＜2n+1成立． ∴2n+1[（n+1）-2n+1]＜0 ∴Tn•Tn+2＜Tn+12