已知函数f（x）=x3-ax2+（a2-1）x+b（a，b∈R）． （Ⅰ）若x=...

（Ⅰ）对函数f（x）求导f′（x），根据x=1为f（x）的极值点，得到f′（1）=0，解这个方程即可求得a的值； （Ⅱ）根据切点在切线上，求得f（1），且切点在y=f（x）的图象上，代入求得关于a，b的一个方程，根据导数的几何意义知f′（1）=-1，解方程组即可求得a，b的值，求函数f（x）在区间（-2，4）上的极值，再与f（-2），f（4）比较大小，可求f（x）在区间[-2，4]上的最大值； （Ⅲ）由f（x）在区间（-1，1）上不单调，得函数f′（x）在（-1，1）上存在零点，讨论求得a的值． 【解析】 （Ⅰ）∵f′（x）=x2-2ax+（a2-1） ∵x=1为f（x）的极值点， ∴f′（1）=0，即a2-2a=0， ∴a=0或2； （II）∵（1，f（1））是切点， ∴1+f（1）-3=0∴f（1）=2 即a2-a+b-=0 ∵切线方程x+y-3=0的斜率为-1， ∴f'（1）=-1，即a2-2a+1=0， ∴a=1， ∵f（x）= ∴f'（x）=x2-2x，可知x=0和x=2是y=f（x）的两个极值点． ∵f（0）=，f（-2）=-4，f（4）=8 ∴y=f（x）在区间[-2，4]上的最大值为8．                       （Ⅲ）因为函数f（x）在区间（-1，1）不单调，所以函数f′（x）在（-1，1）上存在零点． 而f'（x）=0的两根为a-1，a+1，相距2， ∴在区间（-1，1）上不可能有2个零点． 所以f′（-1）f′（1）＜0 即：a2（a+2）（a-2）＜0 ∵a2＞0，∴（a+2）（a-2）＜0，-2＜a＜2 又∵a≠0， ∴a∈（-2，0）∪（0，+2）．