下面是关于三棱锥的四个命题： ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的...

根据正三棱锥的定义，结合二面角判断①的正误；侧棱与底面所成的角判断④的正误；找出反例否定②，找出反例对选项③否定可得正确结论． 【解析】 ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． 可推出底面中心等于是棱锥顶点在底面的射影，所以是正确的． ②显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离（斜高）相等， 根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影（垂足）到底面三边所在直线的距离也相等， 由于在底面所在的平面内，到底面三边所在直线的距离相等的点有4个：内心（本题的中心）1个、旁心3个， 因此不能保证三棱锥是正三棱锥． ④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．是正确的． 故答案为：①④