设曲线xy=k(k≠0)上任意一点的坐标是P(x,y),对xy=k进行变形可得 ,结合点P的坐标,可得切线的方程,联立曲线的方程,进而可得直线在x、y轴上的截距,由三角形面积公式,计算可得答案,进而证明结论成立.
证明:设曲线xy=k(k≠0)上任意一点的坐标是P(x,y),
由题意可得:xy=k可以变形为:,
对函数求导数可得 ,
所以切线的方程是 .
因为xy=k,可以得出切线在x轴与y轴的截距分别是x截距=,
y截距==,
所以根据三角形的面积公式可得:所求三角形的面积为2k,
所以双曲线xy=k(k≠0)上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为常数.