设数列{an}满足an+1=an2-nan+1，n=1，2，3，…，当a1=2时...

设数列{a_n}满足a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…，当a₁=2时，求a₂，a₃，a₄，并由此猜想出a_n的一个通项公式并用数学归纳法证明．

在递推公式中，依次令n=1，2，3代入式子计算，求a2，a3，a4，由特殊值的规律推导出一般关系式为an=n+1．再按照数学归纳法步骤进行证明．【解析】根据题目给出的关系式可得： n=1，a2=a12-a1+1=22-2+1=3， n=2，a3=a22-2a2+1=32-2×3+1=4， n=3，a4=a32-3a3+1=42-3×4+1=5，由此可以猜测an=n+1．下面用数学归纳法证明当n=1时，a2=2=1+1，成立．假设当n=k（k≥2）时成立．即ak=k+1，那么当n=k+1时，ak+1=ak2-kan+1=（k+1）2-k（k+1）+1=k+2=（k+1）+1 即当n=k+1时也成立．所以an=n+1．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等