已知函数． （1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；...

（1）对函数f（x）进行求导，令导函数大于等于0在[1，+∞）上恒成立即可求出a的范围． （2）将a=1代入函数f（x）的解析式，判断其单调性进而得到最大值和最小值． （3）先判断函数f（x）的单调性，令代入函数f（x）根据单调性得到不等式，令n=1，2，…代入可证． 【解析】 （1）∵ ∴ ∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数 ∴对x∈[1，+∞）恒成立， ∴ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，即对x∈[1，+∞）恒成立 ∴a≥1 （2）当a=1时，， ∴当时，f′（x）＜0，故f（x）在上单调递减； 当x∈（1，2]时，f′（x）＞0，故f（x）在x∈（1，2]上单调递增， ∴f（x）在区间上有唯一极小值点，故f（x）min=f（x）极小值=f（1）=0 又 ∵e3＞16 ∴ ∴f（x）在区间上的最大值 综上可知，函数f（x）在上的最大值是1-ln2，最小值是0． （3）当a=1时，，， 故f（x）在[1，+∞）上为增函数． 当n＞1时，令，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0 ∴，即 ∴ ∴ ∴ 即对大于1的任意正整数n，都有