已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）证明：；（2）证明...

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）证明： manfen5.com 满分网

；
（2）证明：不论x取何值总有b²x²+（b²+c²-a²）x+c²＞0；
（3）若a＞c≥2，证明： manfen5.com 满分网

．

（1）利用分析法，要证，即证（a+b）（a+c）＞（2a+b）c，再利用三角形中a+b＞c，即可证得；（2）只需要研究对应方程的△＜0成立即可；（3）利用作差法，再进行适当的放缩可以证明．【解析】（1）∵a，b，c＞0，∴要证，即证（a+b）（a+c）＞（2a+b）c，整理得：a2+ab＞ac，即证a+b＞c，而a+b＞c在三角形中显然成立，则原不等式成立；（2）令y=b2x2+（b2+c2-a2）x+c2，由余弦定理b2+c2-a2=2bccosA，∴△=4b2c2（cos2A-1），在三角形中，cos2A＜1，∴△0得：不论x取何值总有b2x2+（b2+c2-a2）x+c2＞0；（3）∵a-c＞0．∴ 即原不等式成立．

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考点分析：

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“5•12”汶川大地震中，受灾面积大，伤亡惨重，医疗队到达后，都会选择一个合理的位置，使伤员能在最短的时间内得到救治．设有三个乡镇，分别位于一个矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处，AB=10km，BC=5km，现要在该矩形的区域内（含边界），且与A，B等距离的一点O处建造一个医疗站，记O点到三个乡镇的距离之和为y．
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