满分5 > 高中数学试题 >

定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的...

定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)•f(b).
(1)求证:f(0)=1;
(2)求证:对任意的x∈R,恒有f(x)>0;
(3)求证:f(x)是R上的增函数;
(4)若f(x)•f(2x-x2)>1,求x的取值范围.
(1)利用赋值法解决,令x=y=0即得; (2)利用条件:“当x>0时,f(x)>1”,只须证明当x≤0时,f(x)>0即可; (3)利用单调函数的定义证明,设x1<x2,将f(x2)写成f[(x2-x1)+x1]的形式后展开,结合(2)的结论即可证得; (4)由f(x)•f(2x-x2)>f(0)得f(3x-x2)>f(0).结合f(x)的单调性去掉符号“f”后,转化成一元二次不等式解决即可. (1)证明:令a=b=0,则f(0)=f2(0). 又f(0)≠0,∴f(0)=1. (2)证明:当x≤0时,-x>0, ∴f(0)=f(x)•f(-x)=1. ∴f(-x)=>0.又x>0时f(x)≥1>0, ∴x∈R时,恒有f(x)>0. (3)证明:设x1<x2,则x2-x1>0. ∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)•f(x1). ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1. 又f(x1)>0,∴f(x2-x1)•f(x1)>f(x1). ∴f(x2)>f(x1).∴f(x)是R上的增函数. (4)【解析】 由f(x)•f(2x-x2)>1, f(0)=1得f(3x-x2)>f(0). 又f(x)是R上的增函数, ∴3x-x2>0, ∴0<x<3.
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
设二次函数f(x)=ax2+bx+1(a、b∈R)
(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求实数a、b的值;
(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;
(3)在(1)的条件下,若f(x)≤m2-2am+2对所有manfen5.com 满分网恒成立,求实数m的取值范围.
查看答案
已知函数manfen5.com 满分网
(1)若k=-1,求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)讨论函数f(x)的奇偶性,并加以证明.
查看答案
二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x+1,且f(0)=1
(1)求f(x)的表达式;
(2)当-1≤x≤1时,f(x)≤3x+m恒成立,求实数m的最小值.
查看答案
设函数manfen5.com 满分网
(1)当a=2,-2≤x≤2时,求f(x)的值域;
(2)若f(x)在x∈(-1,2)上是单调函数,求实数a的范围.
查看答案
已知集合A={x|(x-8)(x-20)<0},集合B={x||x-7|<2},
集合C={x|2m+1<x<3m-4}.
(1)求:A∪B;
(2)若C≠ϕ,且C⊆A∪B,求m的取值范围.
查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.