（理）已知以a为首项的数列{an}满足： （1）若0＜an≤6，求证：0＜an+...

（1）分当an∈（0，3]时和当an∈（3，6]时，分别求出an+1的范围，得到要证的不等式． （2）当a=1时，利用通项求出a2=2，a3=4，a4=1，得到满足题意的k=3t，t∈N*．同理可得，a取其他值时k的取值， （3）通过解不等式判断出项的取值范围，从而判断出项之间的关系，选择合适的求和方法求出和． 【解析】 （1）当an∈（0，3]时，则an+1=2an∈（0，6]， 当an∈（3，6]时，则an+1=an-3∈（0，3]， 故an+1∈（0，6]， 所以当0＜an≤6时，总有0＜an+1≤6．  …（5分） （2）①当a=1时，a2=2，a3=4，a4=1，故满足题意的k=3t，t∈N*． 同理可得，当a=2或4时，满足题意的k=3t，t∈N*． 当a=3或6时，满足题意的k=2t，t∈N*． ②当a=5时，a2=2，a3=4，a4=1，故满足题意的k不存在． ③当a≥7时，由（1）知，满足题意的k不存在． 综上得：当a=1，2，4时，满足题意的k=3t，t∈N*； 当a=3，6时，满足题意的k=2t，t∈N*．    …（12分） （3）由m∈N*，可得2m-1≥1，故， 当1＜k≤m时，． 故ak=2k-1a且am+1=2ma．又，-------（15分） 所以． 故S4m+2=S4（m+1）-a4m+3-a4m+4=4（a1+a2+•…+am+1）-（2m-1+2m）a =4（1+2+…+2m）a-3×2m-1a=4（2m+1-1）a-3×2m-1a =．    …（18分）