（理）设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面α，β截球O的...

欲求球O的表面积，只需求出球O的半径，根据题意OP长即球O的半径，再根据球心与截面圆圆心连线垂直截面圆，可考虑连接球心与两个截面圆圆心，利用得到的图形中的一些边角关系，求出R，再利用球的表面积公式即可求出球O的表面积． 【解析】 设平面α，β截球O的两个截面圆的圆心分别为A，B， 连接OA，OB，PA，PB，根据题意在四边形OAPB中，∠APB=150°，∠OAP=∠OBP=90° ∴∠AOB=30°， PA=1，PB=， 设OP=R，则OA=，OB= 设∠AOP=α，∠BOP=β，则sinα=，cosα=，sinβ=，cosβ= sin∠AOB=sin∠（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ==sin30°= ∴R2=28 ∴球O的表面积为4πR2=112π 故选D