已知正三棱柱ABC-A1B1C1的每条棱长均为a，M为棱A1C1上的动点． （1...

（I）当M在A1C1中点时，BC1∥平面MB1A．连接NB1并延长与CB延长线交于G，在△CGN中，利用BC1为中位线得BC1∥GN，从而可证BC1∥平面MAB1； （II）可证∠MAC为平面MB1A与平面ABC所成二面角的平面角，进而可求； （Ⅲ）设动点M到平面A1ABB1的距离为hM，利用等体积进行转化，从而可求B-AB1M体积最大值． 【解析】 （I）当M在A1C1中点时，BC1∥平面MB1A ∵M为A1C1中点，延长AM、CC1，使AM与CC1延长线交于N，则NC1=C1C=a 连接NB1并延长与CB延长线交于G，则BG=CB，NB1=B1G     （2分） 在△CGN中，BC1为中位BC1∥GN 又GN⊂平面MAB1，∴BC1∥平面MAB1 （4分） （II）∵△AGC中，BC=BA=BG∴∠GAC=90° 即AC⊥AG     又AG⊥AA1    AA1∩AC=A∴AG⊥平面A1ACC1，AG⊥AM（6分） ∴∠MAC为平面MB1A与平面ABC所成二面角的平面角∴ ∴所求二面角为 arctan2．（8分） （Ⅲ）设动点M到平面A1ABB1的距离为hM． 即B-AB1M体积最大值为．此时M点与C1重合．   （12分）