已知函数f（x）=+bx+c在x=1及x=3时取到极值． （1）求实数a，b； ...

（1）由题意函数f（x）=+bx+c在x=1及x=3时取到极值，可得x=1及x=3是f′（x）=0的两根，求出函数的导数，再由根系关系建立关于a，b的方程解出它们的值； （2）f（x）≥0在[0，4]上恒成立，可研究出函数在[0，4]上的最小值，令最小值大于等于0即可解出实数c的取值范围； （3）g（x）=f（x）-cx2在[0，4]上是增函数，可转化为g′（x）=x2-（4+2c）x+3≥0在[0，4]上恒成立，将此不等式转化为4+2c≤x+在[0，4]上恒成立，利用基本不等式即可得出参数c所满足的不等式，解出它的取值范围 【解析】 （1）由题意函数f（x）=+bx+c在x=1及x=3时取到极值，可得x=1及x=3是f′（x）=0的两根 由于f′（x）=x2+2ax+b，故有解得a=-2，b=3 （2）由（1）f（x）=+3x+c，f′（x）=x2-4x+3 令导数大于0解得x＞3或x＜1，由导数小于0解得1＜x＜3，可得函数在[0，1]与[3，4]上是增函数，在[1，3]上是减函数， 故函数在[0，4]上的最小值可能为f（0）=c或，f（3）=c， 又f（x）≥0在[0，4]上恒成立，可得c≥0 （3）由题意g（x）=f（x）-cx2=+3x+c，g′（x）=x2-（4+2c）x+3 又g（x）=f（x）-cx2在[0，4]上是增函数，故g′（x）=x2-（4+2c）x+3≥0在[0，4]上恒成立， 当x=0时，c∈R 当x＞0时，可变为4+2c≤x+在[0，4]上恒成立， 由于x+≥2，等号当且仅当x=，即x=成立， 故有4+2c≤2，解得c≤-2