已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种...

本题函数的性质，先对已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且为偶函数用定义转化为恒等式，再由两个恒等式进行合理变形得出与四个命题有关的结论，通过推理证得①③正确． 证明：由已知可得： f（-x）=-f（x） …（1） f（-x-）=-f（x+）…（2） f（-x+）=f（x+）…（3） 由（3）知 函数f（x）有对称轴x= 由（2）（3）得 f（-x-）=-f（-x+）； 令z=-x+则-x-=z-π， ∴f（z-π）=-f（z）， 故有f（z-π-π）=-f（z-π）， 两者联立得 f（z-2π）=f（z）， 可见函数f（x）是周期函数，且周期为2π； 由（1）知：f（-z）=-f（z），代入上式得：f（z-2π）=-f（-z）； 由此式可知：函数f（x）有对称中心（-π，0） 由上证知①③是正确的命题． 故应选B．