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已知椭圆的离心率为,直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的...

已知椭圆manfen5.com 满分网的离心率为manfen5.com 满分网,直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直于直线l1,垂足为点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;
(3)设C2与x轴交于点Q,不同的两点R,S在C2上,且满足manfen5.com 满分网,求manfen5.com 满分网的取值范围.
(1)先由离心率为,求出a,b,c的关系,再利用直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切,求出b即可求椭圆C1的方程; (2)把题中条件转化为动点M的轨迹是以l1:x=-1为准线,F2为焦点的抛物线,即可求点M的轨迹C2的方程; (3)先设出点R,S的坐标,利用求出点R,S的坐标之间的关系,再用点R,S的坐标表示出,利用函数求最值的方法即可求的取值范围. 【解析】 (1)由得2a2=3b2,又由直线l:y=x+2与圆x2+y2=b2相切, 得,,∴椭圆C1的方程为:.(4分) (2)由MP=MF2得动点M的轨迹是以l1:x=-1为准线, F2为焦点的抛物线,∴点M的轨迹C2的方程为y2=4x.(8分) (3)Q(0,0),设, ∴, 由,得,∵y1≠y2 ∴化简得,(10分) ∴(当且仅当y1=±4时等号成立), ∵, 又∵y22≥64,∴当y22=64,即y2=±8时, ∴的取值范围是.(13分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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